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La
quadratura del cerchio, ossia l'operazione di costruire con riga e
compasso un quadrato avente l'area uguale a quella di un cerchio
dato, è tra i più antichi e affascinanti problemi della geometria
piana. Materia di studio per millenni, a partire dagli antichi
Greci, essa interessò tutte le sfere del sapere umano e offrì
spunti per riflessioni filosofiche, esoteriche, esistenziali ed
artistiche. L'idea di cosa molto difficile a risolversi e astrusa a
comprendersi ha caratterizzato questo problema, diventando un modo
di dire quotidiano.
Fare delle costruzioni con riga e
compasso significa compiere, a partire almeno da due punti nel
piano, un numero finito di operazioni con la riga per tracciare
rette e con il compasso per tracciare circonferenze. Le operazioni
grafiche di base per la costruzione geometrica con questi due
strumenti sono state per la prima volta esposte da Euclide (IV-III
secolo a.C.) nella sua famosa opera Elementi.
Il problema della quadratura può
assimilarsi a quello di costruire un segmento lungo quanto la
circonferenza. Solo nel 434 a.C. si ha la prima notizia della
quadratura tentata da Anassagora. La quadratura è stata studiata
fin quasi ai nostri giorni e risolta, anche se con una risposta
negativa, nel XIX secolo. Risolta da eminenti matematici, ma ancora
oggi qualcuno si ostina a trovare "soluzioni" misteriosamente
rivelate, come la costruzione di una macchina per il Moto Perpetuo.
Nel 1775 il numero di "solutori della quadratura", detti
ciclometristi, era talmente alto che l'Accademia delle Scienze
francese si rifiutò di vagliare i loro elaborati.
Il suddetto problema è legato al
mondo dei numeri e in particolare al famoso pi greco o "numero di
Archimede", numerello che conosciamo dalla scuola per calcolare
l'area (pi grecor2) racchiusa in una circonferenza (2pi grecor) di
dato raggio.
Il pi greco non è una costante
fisica, della natura; è una costante matematica, e per questo
ancora più universale, essendo indipendente da qua- lunque sistema
di misura poiché è il rapporto tra lunghezze. Inoltre, pi greco è
presente in quasi tutti i campi del sapere: dalla statistica
all'elettronica, dalla fisica all'economia. Le ultime notizie ci
dicono che sono state calcolate miliardi di cifre decimali.
Le prime notizie di pi greco
arrivano dai Babilonesi che lo usavano con l'approssimazione 25/8 =
3.125, come riporta una tavoletta di argilla scoperta nel 1936.
Sempre in quel periodo gli Egizi usavano l'approssimazione (16/9)2
= 3.1604 come è documentato dal papiro di Rhind conservato al
British Museum (Londra). Da notare la strana coincidenza per cui
dividendo il perimetro della base quadrata della piramide di Cheope
per la sua altezza si ottiene pi greco! Accenni a problemi di
misura della circonferenza si trovano anche nella Bibbia. Nel XII
secolo a.C. i Cinesi furono più drastici o più pratici assumendo il
valore di 3. Bisogna attendere il II secolo d.C. con Tolomeo e il
Trecento con Fibonacci per avere almeno le prime tre cifre decimali
esatte, ed il 1430 con l'arabo Al Kashi che calcola le prime 14
cifre decimali!
L'infinito numero di cifre decimali
di pi greco ha fatto proseliti tra coloro che si dilettano di
tecniche mnemoniche. Metodi letterari, poetici, matematici,
musicali più o meno strani e bizzarri sono stati inventati.
Filastrocche che sono composte da parole lunghe quanto le cifre da
ricordare si possono trovare su molti siti Internet: in esse la
fantasia non ha limiti.
Vi è anche un giorno dedicato al pi
greco. In varie parti del mondo, durante tale giorno, ossia
scrivendo la data in modalità anglosassone, il 14 marzo, si
svolgono gare di memorizzazione e di rapidità tra computer nel
calcolare il maggior numero di cifre decimali. In modalità europea
le prime cifre di pi greco descrivono la seguente data ed ora
future: 3 gennaio (20)41, 5h 55m (3-1-41-5.92). Da segnare sul
nostro calendario.
Nella tradizione islamica, la forma
circolare è considerata la più perfetta ed è per questo che i poeti
dicono che il cerchio formato dalla bocca è la forma più bella.
Raccolto in se stesso, senza inizio né fine, compiuto e perfetto,
il cerchio è il segno dell'assoluto. Il quadrato occupa un posto
ugualmente importante. Il simbolo dell'Islam è la Ka'ba, un blocco
quadrato; esso esprime il numero quattro: il numero della
stabilità.
Nella tradizione cristiana il
quadrato, data l'uguaglianza dei suoi lati, rappresenta il cosmo. I
suoi quattro pilastri d'angolo indicano i quattro elementi (Acqua,
Terra, Aria, Fuoco). Le due figure rappresentano i due aspetti
fondamentali di Dio: il cerchio esprime il celeste, il quadrato il
terrestre, quest'ultimo non in quanto opposto al celeste, ma in
quanto creato. Da ciò derivò la costruzione delle chiese ad
quadratum e anche l'uso di porre la pietra angolare come simbolo di
Cristo, vedi la Lettera di San Paolo agli Efesini (riga 20).
Nella tradizione indiana la Terra,
misurata dai suoi quattro orizzonti, è quadrata ed è divisa nelle
quattro regioni, occupate da quattro caste, dalle quattro braccia
di Vishnu e di Shiva.
Anche la letteratura raccoglie il
problema, quasi ineffabile, della visione divina, nel poema
dantesco dove, nell'ultimo canto del Paradiso, si declama: "Qual è
'l geometra che tutto s'affigge/ per misurar lo cerchio, e non
ritrova,/ pensando, quel principio ond'elli indige,/ tal era io a
quella vista nova:/ veder volea come si convenne/ l'imago al
cerchio e come vi s'indova". Questa è la lezione che ci affida
Dante al termine del suo viaggio ultraterreno quando, davanti al
mistero della Trinità, sperimenta la limitatezza della mente umana,
proprio come accade al geometra che studia il cerchio. In questo
contesto il problema della quadratura si trasfigura nel rapporto
uomo-divino per trovare una similitudine, una misura di
paragone.
Per tornare all'aspetto matematico
della questione, Lambert dimostrò nel 1761 che pi greco è un numero
irrazionale: le sue cifre decimali sono illimitate e non periodiche
e nessuno potrà mai scriverle tutte. Ciò non impediva la
quadratura, visto che i numeri irrazionali si possono ancora
disegnare come accade per la diagonale del quadrato unitario che è
uguale a ÷2. Nel 1882, von Lindemann dimostrò che pi greco è anche
un numero trascendente: numero che non può essere ottenuto da
un'equazione algebrica a coefficienti razionali, ossia con
un'espressione che si esprima con le classiche quattro operazioni.
Un vero colpo di grazia per i ciclometristi!
Nel 1739 il grande matematico
svizzero Eulero (1707-1783) usava il simbolo pi greco e fu proprio
lui nel 1743 a fornire una ennesima formula per il suo calcolo.
Essa richiede circa 600 termini per ottenere le prime due cifre
decimali esatte. Non bisogna tuttavia pensare che ciò costituisca
un problema per un matematico. Per la sua mentalità, è sufficiente
che il metodo proposto, facendo uso di una formula possibilmente
elegante, garantisca di trovare quante cifre decimali si vogliano.
Che poi occorrano milioni di termini per avvicinarsi ai risultati
desiderati è questione del tutto marginale.
Del resto il problema dei calcoli,
al giorno d'oggi, è diventato secondario. Disponiamo di
supercalcolatori che riescono a fare milioni di operazioni al
secondo. È perciò possibile ottenere migliaia di cifre esatte,
anche se poi resta da chiedersi a cosa potranno mai servire.
Il pi greco è un numero che abbiamo
ereditato dal lontano passato che ancora può riservarci curiose
sorprese nel futuro.
Nota: La quadratura del cerchio è
possibile con la cosiddetta curva di Ippia (V secolo a.C.), che,
però, non si può costruire con riga e
compasso! | 
